※筆者はあまり頭が良くないので、間違いがあるかもしれません。統計学なんて教わってないです。何か気がついたら、コメントで報告してくださいね。
私はいちおうは進学校(なのか?)に所属しているので、『偏差値』という言葉を一日に一回くらい耳にします。ということ(どういうことだ?)で、今日は偏差値について適当に語ります。
そもそも、どれほど多くの人が偏差値を理解しているのか甚だ疑問です。
偏差値について、Wikipediaに詳しく説明されています。高2で数列を習ったという人はこの記事で理解して欲しいところですが、中学生以下にΣは少し厳しいですね。
前置きが長いですが、中学生以下はこっちの方が良いかもしれません。
上記のリンクの繰り返しになりますが、つまり、
偏差値 = 10×(得点-平均)÷標準偏差 + 50
で計算できるわけです。
ここで、『標準偏差』とは何なの? となります。
標準偏差は、
標準偏差 = √( (それぞれの得点-平均)²の合計 ÷人数 )
で、計算することができます。
結論から言えば『標準偏差』は『得点のバラつき』です。
なぜなら、全員が平均点に近いほど『標準偏差』は0に近づき、得点バラバラになるほど『標準偏差』は大きい値になるからです。
よく偏差値は0～100の間だと誤解されがちですが、平均点に人が集中している、つまり標準偏差が小さい時には、偏差値は50から離れた値を出し易くなります。
偏差値 = 10×(得点-平均)÷標準偏差 + 50
最初に出てきた偏差値の計算式をよく見ると、標準偏差が小さいほど、得点の平均との差異が偏差値に大きく反映されることが分かりますね。
たくさんの人数が受けるテストで、ほぼ全員が平均点くらいしか取れなかったのに、一人だけ高得点なら偏差値は100を超えるかもしれませんし、逆に一人だけ悪い点数だったら偏差値はマイナスになるかもしれません。
具体的には、平均点が50点で『標準偏差』が10を下回るような時には、偏差値が100を超える人が現れるかもしれませんし、言い換えれば、偏差値がマイナスの人が現れるかもしれません。実際に『標準偏差』が10を下回ることは少ないですが、論理的に考えれば『偏差値』に変域は無く、全ての実数をとるということになります。
『標準偏差』ですが、意外とあまり聞かない言葉なので、普通のテストならどれくらいの値なのか、想像もつかない人もいるかもしれません。それなら、このリンクが参考になるかもしれません。
ざっと眺めた感じだと、センターでは偏差値100は不可能みたいです。
数学IIなら、偏差値の最大値が91.4790419になります。
定期テストなどの個票に『標準偏差』が書かれていることは稀かと思いますが、自分の得点と平均と偏差値さえ分かっていれば、導けるので、暇だったら計算してみたらどうでしょう?
↓は試しにHSPで作った偏差値シュミレーションです。乱数で得点を出してるので、得点の分散が大きすぎて、現実味が無いです。
総数 = 100
k = 22; 受験番号みたいな?
v1 = 0.0
repeat 総数
得点(cnt) = rnd(101); ここでは100点満点
v1 += 得点(cnt)
loop
平均 = v1/総数
v2 = 0.0
repeat 総数
v2 += (得点(cnt)-平均)*(得点(cnt)-平均)
loop
標準偏差 = sqrt(v2/総数)
mes "平均: " + 平均
mes "番号:" + k
mes "得点:" + 得点(k)
mes "偏差値:" + ( 10.0*(得点(k)-平均) / 標準偏差 + 50 )
mes "標準偏差:" + 標準偏差
; 因みにこのプログラムでは、得点を乱数で決定しているので、
; 得点が分散してしまい、100点取っても偏差値70を超えません。
