ネタが無いので、独り言を書きます。

最近、やっと高校でベクトル習い出しました。数学に関しては、進度遅すぎですね、私の高校は。あそこまで丁寧に解説しなくても、こっちは理解できますから…

まあ、授業受けて思ったんですが、いくらなんでも、教科書の内積の説明が適当すぎます。

教科書の内積の説明ですが、定義だけ書いてあるだけで、実際に内積がどんなものなのか、一切説明がありません。

たしかに、数学では、内積は、問題の計算の途中に使うだけで、「何なのか?」という疑問はあまり意味が無いのかもしれませんが、スルーしてしまうのも不親切かと思います。

教師に「内積って何なんですか？」という質問をした生徒もいましたが、「図形的意味はあまりない。」という回答でしたよ。

ゲームプログラミングを経験した人ならよく分かると思いますが、

内積とは、2つのベクトルの平行の度合いである。

という説明を加えるべきじゃないかなと思います。

特に、単位ベクトル(長さが1のベクトル)同士の場合、1で完全な平行、0で垂直、-1で逆向きになります。また、符号を調べるだけで、正なら、なす角が鋭角、負なら鈍角とわかります。

これは長さが1のベクトル同士にしか言えませんが、どんなベクトルの長さの時でも、平行の時には内積が最大値になり、垂直では0になります。

ゲームを作ったことある人じゃないと「だから何?」と言われそうですが、これが無いと困る場面は多いんですよね。(ラジアンで、ゲームのキャラクターの向きを管理していて、キャラクターが数回転してしまえば、角度なんて比較できないじゃないですか!?)

しかも、成分表示を使えば、凄く簡単な式になるので、速度的なメリットも大きいわけですよ。

最後に、感のいい人なら、一瞬で分かったと思いますが、なす角がθの単位ベクトルの内積はcosθになるので、なぜ「内積=平行の度合い」が成り立つのか、簡単にわかると思います。