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GAM-22のメモ

ベクトルの内積の意味

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ベクトルの内積の意味

ネタが無いので、独り言を書きます。

最近、やっと高校でベクトル習い出しました。数学に関しては、進度遅すぎですね、私の高校は。あそこまで丁寧に解説しなくても、こっちは理解できますから…

まあ、授業受けて思ったんですが、いくらなんでも、教科書の内積の説明が適当すぎます。

教科書の内積の定義

教科書の内積の説明ですが、定義だけ書いてあるだけで、実際に内積がどんなものなのか、一切説明がありません。

たしかに、数学では、内積は、問題の計算の途中に使うだけで、「何なのか?」という疑問はあまり意味が無いのかもしれませんが、スルーしてしまうのも不親切かと思います。

教師に「内積って何なんですか?」という質問をした生徒もいましたが、「図形的意味はあまりない。」という回答でしたよ。

ゲームプログラミングを経験した人ならよく分かると思いますが、

内積とは、2つのベクトルの平行の度合いである。

という説明を加えるべきじゃないかなと思います。

特に、単位ベクトル(長さが1のベクトル)同士の場合、1で完全な平行、0で垂直、-1で逆向きになります。また、符号を調べるだけで、正なら、なす角が鋭角、負なら鈍角とわかります。

これは長さが1のベクトル同士にしか言えませんが、どんなベクトルの長さの時でも、平行の時には内積が最大値になり、垂直では0になります。

ゲームを作ったことある人じゃないと「だから何?」と言われそうですが、これが無いと困る場面は多いんですよね。(ラジアンで、ゲームのキャラクターの向きを管理していて、キャラクターが数回転してしまえば、角度なんて比較できないじゃないですか!?)

しかも、成分表示を使えば、凄く簡単な式になるので、速度的なメリットも大きいわけですよ。

最後に、感のいい人なら、一瞬で分かったと思いますが、なす角がθの単位ベクトルの内積はcosθになるので、なぜ「内積=平行の度合い」が成り立つのか、簡単にわかると思います。

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こんにちは。
もしかすると教科書の著者としては、詳しく書くと逆に「分かりにくい」と言われてしまう危険性を恐れたのかもしれません。 実際、察しの良い学生なら、cosがついているという時点で図形的意味を察知できますしね。

あと、内積は角度だけじゃなくベクトルの長さとも関係していることをお忘れなく(既にご存じでしたら余計なお世話かもしれませんが)。

問題なのは「図形的意味はあまりない」と言い切ってしまう数学教師だと思います。 うちの大学にも教員志望の学生が何名かいますが、そのなかには、将来こういうふうに嘘を教えかねない人もいて、すごく心配です。
某大学教員さん / 2010/02/20(Sat) / 編集
Re:無題
コメントありがとうございます。
まさか、大学教員様にこんな拙い記事が触れることになるなんて思わなかったので畏れ多いです(笑)。

> もしかすると教科書の著者としては、詳しく書くと逆に「分かりにくい」と言われてしまう危険性を恐れたのかもしれません。
私もそうだと思います。まあ、内積と並行の関係も、後々に問題を解いていれば、普通は気がつくでしょうし、ここで説明しても理解の妨げになるだろうなと今は思います。記事を投稿した時はベクトルの導入部分しか教わってなかったので、こんな記事を書いてしまいました。

> あと、内積は角度だけじゃなくベクトルの長さとも関係していることをお忘れなく
あ、これは知ってました。
後半のところで、単位ベクトルの~と続けたので、まあ良いかと思って書いてしまいましたが、これでは語弊がありましたね。もう少し、ちゃんとベクトルの長さのことも追記しようと思います。ありがとうございました。
 (2010/02/20)
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